Relasi

7. Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

7.1. Pengantar Mengenai Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Terdapat 4 cara menyatakan relasi yaitu, dengan Himpunan Pasangan Berurutan, dengan Diagram Panah, dengan Diagram Cartesius, dengan Rumus.

7.2. Produk Cartesius dan Relasi

Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik dengan koordinat (2,5) tidaklah sama dengan titik yang berkoordinat (5,3). Begitu pula titik (4,7) dengan (7,4) tidak berimpit letaknya maka kedua titik ini tidak sama. Dalama hal koordinat titik seperti contoh di atas ternyata bahwa urutan pasangan bilangan itu harus diperhatikan karena urutan yang berlainan akan menentukan letak (posisi) titik dalam bidang XOY yang berbeda pula.

Sepasang bilangan x dan y dengan x dalam urutan pertama dan y dalam urutan kedua, ditulis (x, y) dan dinamakan pasangan terurut. Selain itu, perlu pula untuk kita ketahui tentang perbedaan pasangan terurut (x,y) dengan himpunan {x, y}. Himpunan {x, y} sama dengan {y, x} karena dalam himpunan urutan tidak dipentingkan.

Sekarang perhatikan A dan B sebagai dua himpunan yang diketahui. Dari kedua himpunan ini dapat membentuk suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut yang unsur pertamanya adalah anggota-anggota A dan unsur keduanya adalah anggota-anggota B. Himpunan yang baru dibentuk ini dinamakan Produk Cartesius (produk cartesius) dari A ke B atau disebut pula himpunan perkalian dari A ke B, dan ditulis A x B dibaca “A kros B” atau “A kali B” atau “A silang B”.

7.3. Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

Penyajian matriks relasi, di sini baris matriks menyatakan anggota himpunana A sedangkan kolommatriks menyatakan anggota himpunan B. Element baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) є R . Dalam hal ini, elemen matriks kita  si dengan 0. Penyajian diagram panah, anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

7.4. Relasi Invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya, komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi  dari B ke A yang merupakan invers dari R . Jadi kalau R = ((a,b) I a є A, b є B), maka inversnya R^-1 = ((b,a) I b є B , a є a ).