Himpunan dan Bilangan

6. Himpunan dan Bilangan

Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

6.1. Pengertian, Penulisan dan Macam-Macam Himpunan

Macam-macam Himpunan dalam matematika yaitu himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan universal dan ditulis dengan huruf S. Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya. Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua. Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua. Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua factor. Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.

6.2. Diagram Venn

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.

6.3. Operasi Antar Himpunan

Terdapat tiga operasi dasar, yaitu gabungan adalah misalkan A dan B adalah sebarang himpunan. Gabungan A dan B, didefinisikan sebagai himpunan yang memuat objek-objek x yang merupakan anggota pada sedikitnya satu dari himpunan A dan B. Irisan adalah misalkan A dan B adalah sembarang himpunan. Irisan A dan B, didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari objek-objek x yang merupakan anggota keduanya himpunan A dan B. Selisih adalah misalkan A dan B adalah sebarang himpunan. Selisih A dan B, ditulis, didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari objek-objek x yang merupakan anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih himpunan A dan B.

6.4. Himpunan Bilangan dan Skemanya

Terdapat skema himpunan bilangan diantaranya yaitu himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif seperti N = {1,2,3,4,5,6,......}. Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1 seperti P = {2,3,5,7,11,13,....}. Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol seperti C = {0,1,2,3,4,5,6,....}. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif seperti B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang seperti 0,-2, 2/7, 5, 2/11. Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang seperti log 2, e, Ö7. Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.seperti log 10, 5/8, -3, 0, 3. Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1 seperti i, 4i, 5i. Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner seperti 2-3i, 8+2.

6.5. Himpunan Bulat dan Riil

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif seperti B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.seperti log 10, 5/8, -3, 0, 3.